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Ludovico Ferrari
A Solução das Equações 4º grau

Ludovico Ferrari (1522-1560) nasceu em Bologna. Foi o mais famoso dos dicípulos de Cardano. De origem muito humilde foi trabalhar como servo na casa de Cardano quando tinha 15 anos. Sua inteligência foi logo reconhecida e logo ocupou o cargo de secretário . Seu gênio incontralável gerava constantes atritos com Cardano, mas apesar disso, eram amigos e colaboradores. A partir dos 18 anos, Ferrari passou a ensinar por conta própria em Milão e sob a proteção do Cardeal de Mantôva, alcançou posições que lhe proporcionavam boa renda. Aos 38 anos tornar-se professor de matemática na Universidade de Bologna e em seguida veio a falecer, provavelmente invenenado pela própria irmã.
Como era costume na época os matemáticos proporem desafios uns aos outros, um certo Zuanne de Tonini da Coi propos uma questão que envolvia a equação

x4+ 6x2- 60x + 36 = 0

Após inumeras tentativas sem êxito, Cardano passou a questão a Ferrari, que encontrou um método geral para a solução das equações do 4º grau. Tal método foi publicado por Cardano em Ars Magna.

Eis o racionio
A equação geral do 4º grau ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 sempre pode ser transformada em outra do tipo
y4 + px2 + qx + r = 0 fazendo x = y + m de modo a anular o termo de 3º grau
Ferrari olhou para a equação x4 + px2 + qx + r = 0 e procurou completa-la de modo a fatora-la num quadrado perfeito. Se tal agrupamento fosse possível , seriam extraídas as raízes quadradas e o problema recairia na solução de equações de 2º grau. Completando a equação temos :

x4 + (p + a)x2 + (r + b) = ax2 - qx + b

para que os dois lados sejam quadrados perfeitos, é preciso que os descriminantes sejam iguais a zero simultaneamente

o que é uma equação do 3º grau em a . Como as equações de 3º grau podiam ser resolvidas ( formula de Cardano) , acha-se a e em seguida b e extraiem-se as raízes quadrada

Para cada alternativa de sinal + ou - tem-se uma equação do 2º grau, ambas com duas soluções. PortAanto o método fornece 4 raízes .

Passos para a solução geral de 4º
1 - Toma-se a equação geral e faz-se a transformação do tipo x = y + m de modo a transformar numa equação sem o termo de 3º
2 - Reagrupam-se seus termos de modo a fazer com que ambos os lados da igualdade sejam quadrados perfeitos. Cai-se numa equação de 3º grau em a. Se ela for completa, faz-se a transformação a = a ' + t de modo a obter-se uma equação de 3º em a ' , sem o termo de 2º
3 - Resolve-se a equação em a ' pelo método de Cardano
4 - soma-se t a a ' e obtem-se a . Calcula-se b
5 - Com a e b , extrai-se as raízes quadradas dos dois lados da igualdade e obtem-se 4 valores possíveis de y. Soma-se m a y e finalmente obtem-se as 4 raízes da equação geral

Realmente é um método perfeito, mas extremamete trabalhoso. O grande mérito de Ferrari foi demosntrar que a solução das equações de 4º grau eram possíveis somente com operações algébricas
Que tal tentar reolver a equação x4 + 15 x2 - 10 x + 24 = 0

O Romance da Equações Algébricas - Gilberto G Garbi
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