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Diofante

No século III da era cristã, quando a escola de Alexandria já se encontrava em decadência, ali viveu o mais brilhante teórico do números da antiguidade, Diofante. Dentre as vária contribuições de Diofante à Matemática, uma delas merece um comentário especial, uma vez que se trata de algo sabido por todos mas que poucos, quando perguntados, conseguem justificar : as regras dos sinais na multiplicação de números relativos. Já nos primeiros contatos com a Aritmética aprendemos que, na multiplicação, os sinais comportam-se da seguinte maneira :

 

 (a)

+ x - = -

 

       (b)

+ x - = -

       (c)

- x + = -

    (d)

- x - = +

Diofante foi, talvez, o primeiro matemático a expor estes fatos de maneira clara, demonstrando sua validade com base na chamada propriedade distribuitiva do produto em relação à soma e à subtração. Esta propriedade, por exemplo, que justifica escrever-se

a ( b + c ) = ab + ac ou a ( b - c ) = ab - ac ou a - b( c + d ) = a - bc - bd

de onde decorrem as generalizações (a), (b) e (c) do quadro. Entretanto, as coisas requerem um pouco mais de raciocínio quando se trata de demonstrar que a multiplicação de dois números negativos dá um número positivo. Há pelo menos duas formas de se chegar a essa conclusão. Eis uma delas :

a - b = c

onde a é o chamado minueno, b o chamado subtrendo e o c resultado. O que acontece ao resultado da subtração se aumentarmos o subtraendo de um valor, digamos d de modo a ter-se a subtração a - ( b + c ) ? É evidente que se o subtraendo for aumentado de d o resultado será diminuído da mesma quantidade. E o aconteceria se o subtraendo fosse diminuído do valor d ? Pelo mesmo raciocínio, o resultado seria aumentado de d, o que permite escrever :

se a - b = c então a - (b - c )= c + d ou a - b + ( - )( - d ) = c + d

como a - b = c temos c + ( - )( - d ) = c + d subtraíndo c dos dois lados : ( - )( - d ) = + d

e esta demonstrado que (-)(-)=(+). A prova de Diofante, entretanto foi geométrica. Considere a figura abaixo, onde os valores a , b , c , d são representados por segmentos de retas

    a  
c

<------b------>

b(c-d)

 

<-----------(a-b)--------->

(a-b)(c-d)

 (c-d)
  bd d(a-b) d

Desta figura tem-se: (a - b)(c - d) + b(c - d) + bd + d( a - b) = ac pois a área do retângulo maior é a soma das áreas dos quatro retângulos nele contido. O desenvolvimento dessa expressão é :

(a - b)(c - d) + bc - bd + bd + ad - bd = ac

(a - b)(c - d) + bc + ad - bd = ac subtraindo bc e ad de cada membro e somando bd temos

(a - b)(c - d) = ac - ad - bc +bd

Isto mostra que no desenvolvimento de (a - b)(c - d) o produto (-b)(-d) é + bd

 

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