Como para cada número da coluna da esquerda corresponde um e um só número da coluna da direita e vice-versa, não temos dificuldades em aceitar que as duas têm a mesma quantidade de elementos. Entretanto, todos os números da direita também podem ser encontrados à esquerda, ou seja, como observou Galileu, no conjunto infinito dos naturais a parte era igual ao todo. Ocorre que para qunatidades finitas o axioma de que a parte é sempre menor que o todo era uma verdade indiscutível há séculos. O teorema segundo o qual, em um triângulo, qualquerângulo externo é maior do que os internos não adjacentes foi demosntrado por Euclides nos elementos precisamente com base na idéia de que a parte é sempre menor que o todo. No mundo das infinitudes, este axioma deixará de ser válido, em mais um exemplo dos riscos que se corre ao generalizar para o infinito conceitos que são verdadeiros para entidades finitas.
Cantor começou procurando atribuir "tamanhos", que ele chamou de potências, aos diversos tipos de conjuntos de infiniitos elementos. Ao conjunto dos números inteiros 1,2,3,...(aquele que Kronecker disse ter sido o único criado por Deus) foi atribuída a potência representada pela primeira letra do alfabeto hebraico À₀ (lê-se Alef-zero), que é o menor dos números transfinitos . Este transfinito À₀ (Alef-zero), potência do conjunto dos números naturais, foi uma espécie de unidade de medida que Cantor passou a utilizar para estudar outros conjuntosde infinitos elementos. Quando os elementos de um conjunto podem ser colocados em correspondência biounívoca com o conjunto dos números naturais, diz-se que ele é contável ou enumerável e que sua potência também é À₀ (Alef-zero). Cantor provou que existem infinitas potências diferentes de conjuntos infinitos. O primeiro conjunto a ser comparado com os dos números naturais foi o dos racionais. Cantor dispôs aqueles números em sucessivas linhas horizontais, cada um denominador a partir de 1. Os numeradores, em cada linha crescem da esquerda para a direita. É fácil ver que todos os números racionais positivos estão contidos no quadro, inclusive as repetições com 1/2 , 2/4, 3/6, etc ( para os negativos vale o mesmo raciocínio)

Seguindo o esquema de flechas na figura, vê-se que podemos contar os racionais, inclusive desconsiderando as repetições que aparecem entre parenteses. Portanto a potência dos racionais é a mesma dos naturais, ou seja, À₀ (Alef-zero). O passo seguinte foi estudar os algébricos e Cantor descobriu através de um raciocínio mais elaborado que esles também são contaveis e assim sua potência também é À₀ (Alef-zero). Continuando, por um método simples e elegante, Cantor provou que os números reais não são contaveis e chamou a potência daquele conjunto de C (de contínuo) ou À₁ (Alef-um). Para prová-lo, Cantor supôs o oposto, ou seja, que os reais são contaveis. Assim sendo, a partir do zero, eles deveriam poder ser colocados em uma sequência da forma :

e assim por diante, indefinidamente, onde os diversos a's são dígitos de 0 a 9. Ora qualquer número do tipo 0,b₁b₂b₃b₄ ..... onde b₁¹a₁₁ ,b₂¹a₂₂, b₃¹a₃₃....... diferirá dos 0,a_ij por pelo menos um dígito, ou seja, estará fora da lista que deveria conter todos os reais, se eles fossem contáveis. Portanto não são.
Esta prova, alias, é uma demosntração indireta de que existem os trancendentes, pois se os reais não são contáveis e se os algébricos o são , então existem reais não algébricos ( e não contáveis), ou seja, transcendentes. Desta forma ficou demosntrado que existem muito mais números transcendentes do que algébricos. Os trabalhos de Cantor sobre os transfinitos bastante masi além. Ele demonstrou proposições que desafiam nosso entendimento, habituado a um mundo de coisas finitas, como, por exemplo, que em qualquer intervalo real (a,b) por menor que seja, existem tantos números quanto em todo conjunto dos reais ( novamente a parte é igual ao todo) Teoremas ainda masi espantosos podem ser encontrados entre suas descobertas.
Cantor foi muito amigo de outro famoso matemático de fim do século XIX, Richard Dedekind, o homem que deu sólido fundamento lógico a teoria dos números reais. Ambos costumavam discutir entre si suas idéias sobre números reais e transfinitos de modo que na matemática os nomes de Cantor e Dedekind quase sempre aparecem associados. Cantor faleceu em 1918, tristemente internado em um hospital para enfermos mentais, mas é pouco provável que a causa da doença tenha sido seu esforço em pensar o impensável.

O Romance das equações Algébricas - Gilberto Garbi